Импульс тела. Закон сохранения импульса

1. Опыты и наблюдения свидетельствуют о том, что результат действия силы (взаимодействия) зависит от времени её действия. Так, если к штативу на нити подвесить
тяжёлую гирю, к которой привязана ещё одна нить снизу, и резко дернуть нижнюю нить, то она оборвётся, а верхняя нить останется целой. Если же теперь медленно потянуть
нижнюю нить, то оборвётся верхняя нить. Поэтому для характеристики действия силы вводят величину, называемую импульсом силы.

Импульсом силы называют векторную величину, равную произведению силы и времени её действия ​\( (\vec{F}t) \)​. Импульс силы является мерой действия силы за некоторый промежуток времени.

Единица импульса силы ​\( [\,F\cdot t\,] \)​ = 1 Н · с.

2. С другой стороны, результат действия силы зависит и от характеристик тела, на которое эта сила действует.

Зависимость результата действия силы от массы тела можно проиллюстрировать с помощью следующего простого примера. Летящий с некоторой скоростью футбольный мяч, ударяясь о пустую картонную коробку, сдвинет её с места, а, ударяясь о такую же коробку, заполненную металлическими предметами, скорее всего, отскочит от неё, а коробка при этом останется неподвижной.

Пуля, летящая со скоростью 2 м/с, при попадании в деревянную стенку в лучшем случае оставит на ней вмятину, а пуля, летящая со скоростью 200 м/с, стенку пробьёт. Таким образом, результат действия силы зависит от массы и скорости взаимодействующих тел.

3. Величину, равную произведению массы тела и его скорости, называют импульсом тела, ​\( \vec{p}=m\vec{v} \)​ — импульс тела (или просто импульс). Единица импульса ​\( [\,p\,] \)​ = 1 кг · м/с².

Импульс — величина векторная, поскольку масса — величина скалярная, а скорость — векторная.

Импульс — величина относительная, его значение зависит от выбора системы отсчёта, поскольку относительной величиной является скорость.

4. Импульс силы и изменение импульса тела связаны между собой.

Запишем второй закон Ньютона: ​\( \vec{F}=m\vec{a} \)​.

Подставим в формулу выражение для ускорения ​\( \vec{a}=\frac{\vec{v}-\vec{v}_0}{t} \)​, \( \vec{F}=\frac{m(\vec{v}-\vec{v}_0)}{t} \)​ или \( \vec{F}t=m\vec{v}-m\vec{v}_0 \)​.

В левой части равенства стоит импульс силы; в правой части — разность конечного и начального импульсов тела, т.е. изменение импульса тела. ​\( \vec{F}t=\Delta(m\vec{v}) \)​.

Таким образом, импульс силы равен изменению импульса тела.

Это иная формулировка второго закона Ньютона. Именно в таком виде сформулировал свой закон Ньютон.

5. Взаимодействующие между собой тела образуют систему тел. Между телами системы действуют силы взаимодействия: на одно тело — сила ​\( \vec{F}_1 \)​, на другое тело — сила \( \vec{F}_2 \). При этом сила равна силе и направлена противоположно ей: ​\( \vec{F}_1=-\vec{F}_2 \)​ (рис. 41).

Силы, с которыми тела системы взаимодействуют между собой, называют внутренними силами.

Помимо внутренних сил, на тела системы действуют внешние силы. Так взаимодействующие тела притягиваются к Земле. Сила тяготения является в данном случае внешней силой. Если тела движутся, то на них действует сила сопротивления воздуха, сила трения. Они тоже являются внешними силами по отношению к системе, которая в данном случае состоит из двух тел. Ни Земля, ни воздух в эту систему тел не входят.

Внешними силами называются силы, которые действуют на тела системы со стороны других тел.

Будем рассматривать такую систему тел, на которую не действуют внешние силы.

Замкнутой системой тел называют систему тел, взаимодействующих между собой и не взаимодействующих с другими телами. В замкнутой системе действуют только внутренние силы, внешние силы на неё не действуют.

6. Рассмотрим взаимодействие двух тел, составляющих замкнутую систему. Масса первого тела ​\( m_1 \),​ его скорость до взаимодействия ​\( \vec{v}_{01} \)​, после взаимодействия \( \vec{v}_{1} \). Масса второго тела \( m_1 \), его скорость до взаимодействия \( \vec{v}_{02} \), после взаимодействия \( \vec{v}_{2} \). Для этих тел справедливо равенство:

\[ m_1\vec{v}_{01}+m_1\vec{v}_{02}=m_1\vec{v}_{1}+m_1\vec{v}_{2} \]

В левой части равенства стоит сумма импульсов тел до взаимодействия, в правой части — сумма импульсов тел после взаимодействия. Как видно, импульс каждого тела при взаимодействии изменился, а сумма импульсов осталась неизменной.

Геометрическая сумма импульсов тел, входящих в замкнутую систему, остаётся постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

В этом состоит закон сохранения импульса.

7. Замкнутая система — это идеализация. В реальном мире нет таких систем, на которые не действовали бы внешние силы. Однако в ряде случаев реальные системы взаимодействующих тел можно рассматривать как замкнутые. Это возможно, когда внутренние силы много больше внешних сил, или когда время взаимодействия мало, или когда внешние силы уравновешивают друг друга. Кроме того, в ряде случаев равна нулю проекция внешних сил на какое-либо направление. В этом случае закон сохранения импульса выполняется для проекций импульсов взаимодействующих тел на это направление.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ

Часть 1

1. Тело двигалось под действием силы 10 Н в течение 5 с. Чему равно изменение импульса тела?

1) 2 Н/с
2) 5 Н·с
3) 50 Н·с
4) нельзя дать ответ, т.к. неизвестны масса и скорость тела

2. Чему равен импульс автомобиля массой 1,5 т, движущегося со скоростью 20 м/с в системе отсчёта, связанной с автомобилем, движущимся в ту же сторону с той же скоростью?

1) 0
2) 15 000 кг·м/с
3) 30 000 кг·м/с
4) 60 000 кг·м/с

3. Чему равен импульс автомобиля массой 1,5 т, движущегося со скоростью 20 м/с в системе отсчёта, связанной с автомобилем, движущимся с той же скоростью, но в противоположную сторону?

1) 0
2) 15 000 кг·м/с
3) 30 000 кг·м/с
4) 60 000 кг·м/с

4. На графике показаны изменения скорости велосипедиста с течением времени. Чему равно изменение импульса велосипедиста через 4 с после начала движения, если его масса 50 кг?

1) 200 кг·м/с
2) 2500 кг·м/с
3) 2000 кг·м/с
4) 2500 кг·м/с

5. Тело движется в положительном направлении оси ​\( Ox \)​. На рисунке представлен график зависимости от времени ​\( t \)​ проекции силы ​\( F_x \)​, действующей на тело. В интервале времени от 0 до 5 с проекция импульса тела на ось ​\( Ox \)​

1) уменьшается на 5 кг·м/с
2) не изменяется
3) увеличивается на 10 кг·м/с
4) увеличивается на 5 кг·м/с

6. Два шара массой ​\( m_1 \)​ и ​\( m_2 \)​ движутся в одном направлении со скоростями соответственно ​\( x_1 \)​ и \( x_2 \) по гладкому горизонтальному столу (см. рисунок). Полный импульс ​\( p \)​ системы шаров равен по модулю

1) ​\( p=m_2x_2-m_1x_1 \)​ и направлен налево ←
2) \( p=m_1x_1-m_2x_2 \) и направлен вправо →
3) \( p=m_1x_1+m_2x_2 \) и направлен налево ←
4) \( p=m_1x_1-m_2x_2 \) и направлен вправо →

7. Два шарика массой 50 г и 100 г движутся со скоростью 0,6 м/с и 0,4 м/с соответственно. Направления движения шариков составляют угол 90°. Модуль суммарного импульса шариков равен

1) 0,15 кг·м/с
2) 0,07 кг·м/с
3) 0,05 кг·м/с
4) 0,01 кг·м/с

8. Снаряд, импульс которого ​\( \vec{p} \)​ был направлен вертикально вверх, разорвался на два осколка. Импульс одного осколка \( \vec{p}_1 \) в момент взрыва был направлен горизонтально (рис. 1). Какое направление имел импульс \( \vec{p}_2 \) второго осколка (рис. 2)?

1) 1
2) 2
3) 3
4) 4

9. Масса мальчика в 3 раза меньше массы лодки. В момент прыжка с неподвижной лодки скорость мальчика равна 1,5 м/с. При этом лодка приобретает скорость, равную

1) 4,5 м/с
2) 2 м/с
3) 0,5 м/с
4) 0 м/с

10. Закон сохранения импульса справедлив:

А. Для замкнутой системы тел
Б. Для любой системы тел.

Правильный ответ

1) только А
2) только Б
3) и А, и Б
4) ни А, ни Б

11. Установите соответствие между физическими величинами (в левом столбце таблицы) и их единицами (в правом столбце таблицы). В ответе запишите выбранные цифры под соответствующими буквами

ВЕЛИЧИНА
A. Импульс
Б. Скорость
B. Ускорение

ЕДИНИЦА
1) метр/секунда (1 м/с)
2) ньютон (1 Н)
3) метр/секунда² (1 м/с²)
4) джоуль (1 Дж)
5) ньютон·секунда (1 Н·с)

12. Из приведённого перечня выберите 2 правильных утверждения и запишите их номера в таблицу.

1) Закон сохранения импульса справедлив для любой системы тел.
2) Импульс тела — величина скалярная.
3) Закон сохранения импульса справедлив для замкнутой системы тел.
4) Изменение импульса тела равно импульсу силы.
5) Закон сохранения импульса не применим к незамкнутой системе тел ни при каких условиях.

Часть 2

13. Снаряд летит горизонтально и разрывается на два осколка массой 2 кг и 3 кг. С какой скоростью летел снаряд, если первый осколок в результате разрыва приобрёл скорость 50 м/с, второй 40 м/с? Скорости осколков направлены горизонтально в противоположную сторону.

Ответы