Глава 13. Неожиданное объяснение теплоты с помощью термодинамики

В этой главе…

• Измеряем температуру по Фаренгейту, Цельсию и Кельвину
• Исследуем линейное и объемное тепловые расширения
• Следим за тепловыми потоками
• Учитываем удельную теплоемкость
• Соблюдаем требования фазового переход

Представьте себе, что извержение горячей воды из неизвестно откуда взявшегося геотермального источника в вашем саду испортило празднование дня рождения. “Похоже, что у нас образовался гейзер,” — говорят обескураженные родители, глядя на покрытую туманом яму, возникшую на заднем дворе. “Конечно же, — отвечаете вы. — Где рулетка? Нужно поторопиться, ведь растает наше мороженое!”

Быстро измерив размеры колодца с кипятком, получаем, что его глубина равна 225 м, а средняя ширина — 0,5 м. “Все в порядке, — объявляете вы. — Физика поможет решить проблему. Нам нужно 719 мешков со льдом.”

“Семьсот девятнадцать мешков со… льдом?” — еле слышно повторяют родители.

“Если вечеринка не затянется больше чем на 2 часа, то за время, пока мешки будут охлаждать гейзер, ее можно спокойно закончить.”

“Семьсот девятнадцать мешков?” — спрашивают родители, посмотрев друг на друга. “Ну да, — говорите вы. — Ну и счет за мои услуги. ”

В этой главе рассматриваются такие понятия, как теплота и температура. Постигая законы физики, читатель сможет многое о них узнать, а также приобрести полезные навыки и умения. Здесь рассказывается о разных способах измерения температуры, линейном и объемном расширении, а также о том, насколько тело с одной температурой может изменить температуру другого тела, если соединить их друг с другом.

Измеряем температуру

Вычисление или наблюдение в физике всегда начинается с измерений, а когда речь идет о таких физических понятиях, как теплота, тепловая энергия и температура, в нашем распоряжении имеется несколько измерительных шкал, самыми известными из которых являются шкалы Фаренгейта, Цельсия и Кельвина.

Меряем температуру по Фаренгейту

В США самой распространенной является шкала Фаренгейта. В ней температура измеряется в градусах. Например, температура крови у здорового человека равна 98,6°F, т.е. 98,6 градусов по Фаренгейту. Здесь символ ​\( \mathbf{F} \)​ означает то, что используется шкала Фаренгейта.

Меряем температуру по Цельсию

Вначале шкалой Фаренгейта не очень легко было пользоваться, поэтому была создана другая система измерения температуры — шкала Цельсия (ранее известная как стоградусная система). В соответствии с этой шкалой чистая вода замерзает при 0°С, т.е. при 0 градусов Цельсия, а закипает — при 100°С, т.е. при 100 градусов Цельсия. Аналогично, здесь символ \( \mathbf{C} \) означает то, что используется шкала Цельсия. При работе с чистой водой эти значения легче использовать, чем соответствующие им величины 32° и 212° системы Фаренгейта. Попробуем связать друг с другом две температурные шкалы по известным данным (приводятся значения, полученные на уровне моря, поскольку при увеличении высоты над уровнем моря они меняются):

Откуда появились 32 градуса по Фаренгейту?

Кто же ввел шкалу температур Фаренгейта? Его фамилия не будет для вас незнакомой. 8 XVIII веке Даниэль Габриэль Фаренгейт занимался в Амстердаме изготовлением термометров. Нулевой точкой в его шкале служила температура в ванне с замороженным раствором соли (это был обычный способ получения низких температур в лаборатории XVIII века). В качестве температуры плавления льда (при ее повышении) и замораживания воды (при понижении температуры) он выбрал 32°F. В соответствии с этой температурной шкалой вода кипит при 212°F.

В результате вычислений получается, что между точкой замерзания и точкой кипения в системах Фаренгейта и Цельсия соответственно находится 180°F и 100°С, т.е. коэффициентом перевода из второй системы в первую является 180/100 = 18/10 = 9/5. Кроме того, не забывайте, что значения также отстоят друг от друга на 32 градуса (нулевая точка шкалы Цельсия соответствует 32-градусной точке шкалы Фаренгейта). Комбинируя эти две идеи, можно довольно легко переходить “от Фаренгейта к Цельсию” и, наоборот, “от Цельсия к Фаренгейту”. Надо только помнить следующие формулы:

где символы ​\( C \)​ и ​\( F \)​ обозначают величины температуры в градусах Цельсия и Фаренгейта, соответственно.

Например, температура крови здорового человека равна 98,6°F. Чему эта температура равна по шкале Цельсия? Надо только подставить числа в известную формулу:

Встреча Фаренгейта с Цельсием

Действительно, шкалы Фаренгейта и Цельсия встречаются в единственной точке, где температура одна и та же, что по одной шкале, что по другой. И какова же эта температура? Если обозначить ее как ​\( t \)​, то получится, что ​\( t= (9/5)t+ 32 \)​. Решив это уравнение, мы получим ​\( t \)​ = -40. Итак, -40°С = -40°F, что является довольно забавным фактом.

Меряем температуру по Кельвину

Третью температурную систему создал Вильям Томсон в XIX веке. В настоящее время она широко распространена в физике и называется шкалой Кельвина (ее разработчик позднее получил титул барона Кельвина). Для физики эта система, в основе которой лежит понятие абсолютного нуля, стала основной, через нее определяются системы Фаренгейта и Цельсия.

Анализируем абсолютный нуль

Температура— это фактически мера движения молекул, т.е. она показывает, насколько быстро движутся молекулы того тела, чью температуру мы измеряем, и насколько много таких молекул. При понижении температуры молекулы движутся все медленнее и медленнее. При абсолютном нуле молекулы останавливаются, т.е. охладить их еще больше не удастся. Ни одна холодильная система на планете, да и во всей Вселенной, не может создать более низкую температуру.

Основой системы Кельвина является то, что за нулевую точку взят абсолютный нуль. Если подумать, то в этом есть определенный смысл. Немного странно лишь то, что в этой шкале температура измеряется не в градусах, а в кельвинах (похоже, лорд Кельвин хотел, чтобы его имя уж точно никогда не забыли). (Интересно, что до 1968 года кельвин официально именовался градусом Кельвина. — Примеч. ред.) Температура в 100° по системе Цельсия — это 100°С, а температура в 100 единиц шкалы Кельвина — это 100 кельвинов. Шкала Кельвина стала такой распространенной, что в системе СИ официальной единицей температуры является кельвин (и действительно, градусы Цельсия намного чаще встречается именно в начальных курсах физики).

Преобразуем кельвины в градусы и обратно

Каждый кельвин равен градусу Цельсия, что облегчает перевод этих градусов в кельвины и наоборот. По шкале Цельсия абсолютный нуль равен —273,15°С. Эта температура соответствует 0 кельвинам, что также записывается как 0 К (обратите внимание — не как 0°К).

Таким образом, для перевода друг в друга шкал Цельсия и Кельвина достаточно пользоваться следующими формулами:

А для преобразования кельвинов в градусы Фаренгейта можно использовать такую формулу:

Какова температура кипящей воды в кельвинах? Вода кипит при 100°С, поэтому:

Итак, вода кипит при 373,15 К.

Гелий превращается в жидкость при 4,2 К, тогда что это по шкале Цельсия? Воспользуемся формулой:

Гелий становится жидким при температуре —268,95°С. Да, довольно зябко.

Повышаем температуру: линейное расширение

Когда речь идет о расширении твердого тела под воздействием тепла, то подразумевается линейное расширение. К примеру, некоторые банки с закручивающимися крышками могут тяжело открываться. Когда нужно открутить крышку от банки с арахисовым маслом или маринованными огурчиками, то эта работа вообще доводит до бешенства. Вы, возможно, помните, как ваша мама обливала горячей водой, словно ребенка, крышки банок. Дело в том, что под действием горячей воды крышки расширяются, и тогда намного легче откручивать крышку от банки. Это интересное физическое явление иллюстрируется на рис. 13.1.

Немного повысим температуру тела:

где ​\( T_к \)​ и \( T_н \) означают соответственно конечную и начальную температуру, а ​\( \Delta T \)​ означает изменение температуры. Тогда в результате линейного расширения происходит расширение в любом линейном направлении:

где \( L_к \) и \( L_н \) означают соответственно конечную и начальную длину твердого тела, a \( \Delta L \) означает изменение длины. А если температуру тела немного снизить:

то вместо расширения получится линейное сжатие:

Другими словами, изменение длины, \( \Delta L \), пропорционально изменению температуры, \( \Delta T \).

Это соотношение соблюдается не для всех, но для многих твердых тел. Интересно, что некоторые твердые тела при нагревании сжимаются. К примеру, лед в действительности сжимается, если поднять его температуру от 0°С до 4°С, так как лед приобретает другую кристаллическую структуру.

Разбираемся с линейным расширением

Если рассматривать линейное расширение на молекулярном уровне, то оно происходит потому, что в нагреваемых телах молекулы начинают сталкиваться друг с другом быстрее, что и приводит к физическому расширению. При нагревании твердое тело расширяется на несколько процентов, количество которых пропорционально изменению температуры, поэтому можно записать:

Константа пропорциональности зависит от самого материала, поэтому в действительности она представляет собой такую же экспериментально измеренную величину, что и коэффициент трения (глава 6). И подобно коэффициенту трения, константа пропорциональности также является коэффициентом, а именно коэффициентом линейного теплового расширения, который обозначается символом ​\( \alpha \)​ (не путать с символом углового ускорения). Данное соотношение можно записать в виде следующей формулы:

Обычно эта формула записывается таким образом:

Коэффициент линейного расширения а измеряется в обратных градусах, т.е. в 1/°С (или иначе, в °С^-1).

Проверяем железнодорожные рельсы: пример линейного расширения

Предположим, что вас пригласили проверить новую железную дорогу. Итак, с учетом мощности локомотива, крутизны подъема и массы нагрузки получается, что локомотив может без проблем взбираться вверх со скоростью 1,0 метр в секунду.

“Хм, — говорит главный конструктор. — Да у нас все в полном порядке. Причем мы наверняка обойдемся без всяких высокооплачиваемых физиков.”

Пока его свита хохочет, внимательнее присмотритесь к рельсам длиной в 10 м и обратите внимание, что зазор между ними составляет всего 1 мм.

“На сколько градусов должны нагреваться эти детали летом?” — зададим логичный вопрос конструктору.

“Нагреваться? — громко хохочет конструктор. — Вы боитесь, что рельсы расплавятся?”

Пока все смеются над вашим невежеством и удачной шуткой, можно заглянуть в справочник, где сказано, что в этой местности летом температура может быть на 50°С градусов больше нынешней. Коэффициент линейного теплового расширения стали, из которой делают рельсы, приблизительно равен 1,2·10^{-5 о}С^-1. (Этот и другие коэффициенты, которые необходимы при решении той или иной задачи, можно найти не только в обычном физическом справочнике, но и в Интернет.) Итак, насколько расширится обычная рельса в летнюю жару? Как вам известно:

Подстановка чисел в эту формулу дает:

Другими словами, можно ожидать, что летом рельса удлинится примерно на 6,0·10^-3 м, или на 6 мм. Однако зазор между рельсами равен всего 1 мм. Очевидно, что железнодорожная компания столкнется с большими проблемами. Главному конструктору остается только посоветовать, чтобы он основательно проштудировал основы физики.

Линейное тепловое расширение обязательно учитывается в строительных проектах. Именно поэтому часто попадаются конструкции с “расширяющимися стыками”, например между элементами моста и поверхностью дороги.

Продолжаем нагрев: объемное расширение

Линейное расширение, как следует из названия, происходит вдоль одного измерения, но поведение нашего мира далеко не всегда можно описать только одним измерением. Часто для этого требуется три измерения. Если тело подвергается небольшому изменению температуры, всего на несколько градусов, то можно сказать, что объем этого тела будет меняться пропорционально изменению температуры. При небольшой разности температур получается:

где \( \Delta\!V \)и \( V_н \) означают соответственно изменение объема и начальный объем. Константа, связанная с объемным расширением, называется коэффициентом объемного теплового расширения. Она обозначается буквой ​\( \beta \)​ и, подобно \( \alpha \), измеряется в °С^-1. Вот как можно с помощью \( \beta \) записать формулу объемного расширения:

Перемножив обе части на ​\( V_н \)​, вы получите:

Получился аналог (или эквивалент) формулы ​\( \Delta L=\alpha L_н\Delta T \)​, используемой для линейного расширения (см. предыдущий раздел).

Если изменения длины и температуры достаточно малы, то ​\( \beta=3\alpha \)​. Это имеет смысл, ведь вы переходите с одного линейного измерения на три. Например, для стали ​\( \alpha \)​ = 1,2·10^-5 °С^-1, а \( \beta \) = 3,6·10^-5 °С^-1. Возможно, в будущем эта формула даст вам некоторую экономию времени.

Представим себе, что рабочие на нефтеперерабатывающем заводе в жаркий летний день до краев заполняют бензином автоцистерны, имеющие емкость 20000 литров.

“Ого-го,” — думаете вы, откладывая калькулятор в сторону. Ведь для бензина коэффициент объемного теплового расширения \( \beta \) = 9,5·10^-4 °С^-1, а на солнцепеке температура на 10°С выше, чем в помещении, и тогда:

Новость не слишком приятная: если автоцистерну емкостью 20000 л заполнить до краев холодным бензином, то на солнцепеке около 190 л разогретого бензина могут пролиться наружу. Конечно, сами автоцистерны могут также расширяться, но коэффициент ​\( \beta \)​ для стали намного меньше, чем для керосина. Может, надо предложить владельцам завода заполнять цистерны теплым бензином или вначале попросить повышения зарплаты?

Переносим тепло

А что такое на самом деле теплота? Когда прикасаемся к теплому предмету, наши нервы ощущают приток тепла от него. А когда прикасаемся к холодному предмету, наоборот, наши нервы ощущают обратный отток тепла от нас к более холодному предмету. Мы способны замечать температуру предметов на ощупь (теплые или холодные), потому что наши нервные окончания фиксируют тепловые потоки, которые переходят от этих предметов к нам или обратно, от нас к ним.

Так что же такое теплота на языке физики? Теплота — это энергия, которая переходит от физических тел, имеющих более высокую температуру, к физическим телам с более низкой температурой. В системе СИ единицей измерения этой энергии является джоуль (Дж).

Укутаемся в одеяло

Почему одеяло согревает нас? Разве мы не отдаем тепло через одеяло окружающей среде? Нет, определенно отдаем, но когда масса одеяла и изолированный в нем воздух достаточно нагреются, то скорость передачи тепла от тела к одеялу заметно снижается. Дело в том, что толстое одеяло медленно передает полученное тепло окружающему воздуху. Чем одеяло толще, тем медленнее тепло от тела передается более холодной окружающей среде.

Откуда берется тепловая энергия? Если посмотреть с молекулярной точки зрения, то теплота— это мера энергии движения молекул внутри физического тела. Тепловая энергия содержится в теле, если только не выйдет из него в окружающую среду.

Разные материалы могут хранить разное количество теплоты. Нагретый картофель хранит тепло дольше (это может подтвердить ваш язык), чем менее плотные материалы, как сладкая вата. Мера количества теплоты, содержащейся в теле, называется удельной теплоемкостью.

Физикам нравится все измерять, и не удивительно, что наблюдая, как кто-то варит себе чашку кофе, после прочтения этих строк вам захочется схватить термометр и измерить температуру напитка. Допустим, что в емкости находится ровно 1 кг варящегося кофе. Для увеличения температуры кофе на 1°С потребуется 4186 Дж тепловой энергии, но для увеличения температуры стекла массой 1 кг на тот же 1°С нужно всего лишь 840 Дж. Куда же уходит эта энергия? Она уходит в нагреваемое тело, которое хранит ее в качестве внутренней энергии, пока полученная энергия снова не окажется за пределами тела.

Если для увеличения температуры 1,0 кг кофе на 1°С требуется 4186 Дж, то для увеличения температуры на 1°С кофе массой 2 кг потребуется в два раза больше энергии, т.е. 8372 Дж.

Количество теплоты, ​\( Q \)​ (наиболее распространенное обозначение теплоты; впрочем, это не имеет значения), которое требуется для увеличения температуры тела, можно связать с изменением этой температуры и имеющейся массой тела:

где ​\( Q \)​ — это количество тепловой энергии (измеряемой в джоулях, если используется система СИ), ​\( m \)​ — величина массы, ​\( \Delta T \)​ — изменение температуры, а ​\( c \)​ — удельная теплоемкость, измеряемая в системе СИ в Дж/(кг·°С).

Одна калория определяется как количество теплоты, нужное для нагревания 1 г воды на 1°С, таким образом 1 калория = 4,186 Дж. Диетологи используют эту единицу измерения для обозначения условной энергетической ценности продуктов питания. Например, на упаковках продуктов питания можно найти обозначение “ккал” (килокалория), причем 1 ккал = 1000 калорий, т.е. 1 ккал = 4186 Дж. Кроме того, физики используют еще один термин — британскую тепловую единицу (British thermal unit — BTU). BTU равна количеству теплоты, требуемому для нагревания 1 фунта (около 454 г) воды на 1°F. Для преобразования BTU в джоули можно пользоваться равенством 1 BTU = 1055 Дж.

Представьте себе, что, находясь в гостях, вы обнаружили, что кофе в вашей чашке (около 45 г) остыл. “Здесь 45°С, а мне нравится, чтобы было 65°С”, — говорите вы. Хозяин в ответ предлагает долить вам более горячего кофе.

“Минуточку, — говорите вы. — Температура кофе в кофейнике равна 95°С. Подождите, я подсчитаю, сколько надо долить.”

Вот тепловая энергия, теряемая массой ​\( m_1 \)​ нового более горячего кофе:

А вот тепловая энергия, получаемая массой \( m_2 \) более холодного кофе, уже имевшегося в чашке:

Предположим, что во время этой операции кофейная чашка является суперизолятором, который не рассеивает свою тепловую энергию в окружающую среду. Тогда тепловая энергия, теряемая новым более горячим кофе, равна теплоте, получаемой уже имевшимся в чашке более холодным кофе, то есть:

Это значит, что:

Поделив обе части равенства на удельную теплоемкость и подставив числа, получаем:

Поделив обе части последнего равенства на 30, получаем:

Теперь можно отложить свой калькулятор в сторону и попросить: “Налейте мне ровно 30 г горячего кофе из кофейника, пожалуйста”.

Фазовый переход: когда температура не меняется

Рассматриваемая формула ​\( Q=cm\Delta T \)​ используется для вычисления изменений тепловой энергии при изменении температуры. Однако бывают случаи, когда при притоке или оттоке тепловой энергии температура объекта не меняется. Представьте, что для охлаждения лимонада в стакане в него добавили немного льда. Теперь в стакане находится смесь, наполовину состоящая изо льда, а наполовину — из лимонада (можно считать, что лимонад имеет ту же теплоемкость, что и вода; см. предыдущий раздел). Температура смеси в точности равна 0°С.

Пока вы держите стакан и наблюдаете за происходящим, лед начинает таять, но при этом температура содержимого стакана не меняется. В чем дело? Тепловая энергия, попадающая в стакан из окружающей среды, растапливает лед и не нагревает смесь. Получается, что из-за этого формула тепловой энергии становится бесполезной? Вовсе нет. Просто это значит, что упомянутую формулу нельзя применять для фазовых переходов.

Фазовым переходом называется изменение состояния материала: переход из жидкого в твердое (например, когда вода замерзает), из твердого в жидкое (когда скалы расплавляются в лаву), из жидкого в газообразное (когда вы кипятите воду для приготовления чая) и т.д. Если материал переходит в новое состояние — жидкое, твердое или газообразное (следует учитывать также и четвертое состояние — плазму, похожую на сверхперегретый газ), то в ходе процесса этот материал выделяет или, наоборот, поглощает некоторое количество тепловой энергии. (Плазмой в физике называют ионизированный газ, в котором от значительной части атомов или молекул отделен по крайней мере один электрон. — Примеч. ред.)

Даже твердые тела могут испытывать фазовый переход сразу в газ (минуя жидкое состояние), например глыба “сухого льда”, т.е. замороженного диоксида углерода. При нагревании “сухой лед” превращается в углекислый газ, или газообразный диоксид углерода. Такой процесс называется сублимацией (или возгонкой).

Ломаем лед с помощью фазового перехода

Представьте, что в печь поместили мешок со льдом. Перед этим лед имел температуру ниже точки замерзания (—5°С), но пребывание в печи должно изменить его температуру. Такое изменение можно изобразить в форме графика на рис. 13.2.

Если нет фазового перехода, то для описания состояния льда хорошо подходит уже известная нам формула \( Q=cm\Delta T \) (удельная теплоемкость льда примерно равна 2,0·10^-3 Дж/(кг°С)), т.е. температура льда будет увеличиваться линейно по отношению к добавленной к нему тепловой энергии, как показано на графике (см. рис. 13.2).

Но когда температура льда достигнет 0°С, ситуация изменится. Лед станет слишком теплым, чтобы сохранять неизменным свое твердое состояние. Он начнет таять, т.е. испытывать фазовой переход. Чтобы заставить объект изменить фазовое состояние на молекулярном уровне, нужна тепловая энергия. Например, при растапливании льда нужна энергия, чтобы разрушить кристаллическую структуру льда. Энергия, необходимая для растапливания льда, поступает к нему в виде потока тепловой энергии от печи. Вот почему график, показанный на рис. 13.3, посередине выравнивается— происходит таяние льда. Чтобы заставить лед изменить фазовое состояние и стать водой, нужна тепловая энергия. Однако, несмотря на приток тепловой энергии от печи, температура тающего льда не меняется.

Спустя какое-то время, наблюдая за мешком льда в печи, можно заметить, что весь лед превратился в воду. Поскольку печь продолжает передавать тепловую энергию, то вода начнет нагреваться, как показано на рис. 13.2. Вода, получая все больше и больше тепловой энергии, через некоторое время начнет кипеть. “Ага, — подумаете вы. — Вот и новый фазовый переход.” И будете правы: вода закипит, превращаясь в пар. Впрочем, если мешок со льдом достаточно эластичен, то при превращении воды в пар он будет просто расширяться, а не рваться.

Измерим температуру воды. Поразительно: вода кипит, превращается в пар, но, как показано на рис. 13.2, температура не меняется. Снова, чтобы поддерживать фазовый переход, нужно передавать воде тепловую энергию. Таким образом, на этот раз происходит превращение воды в пар. На рис. 13.2 видно, как при добавлении теплоты вода кипит, но температура этой воды не меняется.

Что же произойдет дальше, когда мешок раздуется до громадных размеров? Лучше никогда не доводить эксперимент до этого момента, потому что он в конце концов должен лопнуть. Какое количество тепловой энергии нужно передать объекту, чтобы изменить его фазовое состояние? Как изменить или дополнить формулу тепловой энергии, чтобы в ней учитывались фазовые переходы? Самое время познакомиться со скрытой теплотой фазового перехода.

Знакомимся со скрытой теплотой фазового перехода

Упомянутая выше скрытая теплота, строго говоря, называется удельной теплотой фазового превращения. Это количество тепловой энергии, которое необходимо для изменения фазового состояния объекта массой 1 кг. В системе СИ удельная теплота фазового превращения измеряется в Дж/кг.

Физики различают несколько видов удельной теплоты фазового превращения, соответствующие фазовым переходам, наблюдаемым между твердым, жидким и газообразным состояниями.

• Теплота плавления, ​\( L_п \)​: количество тепловой энергии на килограмм, требуемое для перехода из твердой в жидкую фазу, например, когда лед становится водой.
• Теплота испарения, \( L_и \): количество тепловой энергии на килограмм, требуемое для перехода из жидкой в газообразную фазу, например, когда вода выкипает и превращается в пар.
• Теплота сублимации, \( L_с \): количество тепловой энергии на килограмм, требуемое для перехода из твердой в газообразную фазу, например, когда испаряется “сухой лед”.

Например, для воды теплота плавления \( L_п \) и теплота испарения \( L_и \) равны соответственно 3,35·10⁵ Дж/кг и 2,26·10⁶ Дж/кг. Иначе говоря, чтобы растопить 1 кг льда при температуре 0°С (только растопить, не меняя температуру полученной воды), требуется 3,35·10⁵ Дж. А чтобы превратить 1 кг воды в пар, требуется 2,26·10⁶ Дж. Это и есть те порции тепловой энергии, которые тратятся на фазовое превращение воды.